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第18回・富士山の頂上から見える距離

ほこりのない澄みきった晴れの日には,高い建物や山の頂上からはるか遠くの景色を見ることができますが,一体どのくらいの距離まで見ることができるのでしょう?

このことを数学の考え方を使って求めてみましょう!

地球が半径r の球として,その中心をO とします。また,高さがa である山の頂上をP とし,右の図のように,P から円O へ接線PT をひきます。このときのPT の長さが,山の頂上から見ることのできるいちばん遠い地点までの距離となります。
(右の図で,PT は接線,OT は半径なのでPT⊥OT です。)

右の図で,△TOP は直角三角形だから,三平方の定理(ピタゴラスの定理)により,

の関係が成り立ちます。これより,

で求められます。

三平方の定理(ピタゴラスの定理)

「直角三角形の直角をはさむ2 つの辺でできる正方形の面積の和は,斜辺でできる正方形の面積と等しい」

直角をはさむ2 辺の長さをa,b とし,斜辺の長さをc とすれば

(1 辺a の正方形)+(1 辺b の正方形)=(斜辺c の正方形)

このような公式で表せます。

地球の半径r を6378km,富士山の高さa を3.776km として計算してみると…

となり,約220km と求められます。

富士山を中心として半径220km の円をかくと右の図のようになります。
(実際には大気中の光は屈折し,上記の計算結果の約1.06 倍(220×1.06=233.2km)遠くまで見えるそうです。)

 

東京タワーの一番上からは,何km 先まで見えるでしょうか?
地球の半径を6378km,東京タワーの高さを333m(=0.333km)として計算してみましょう。

=65.17… → 約65km

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