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第15回・背理法

<背理法とは>

みなさんが中学校の数学でならう証明の代表的なものは,図形分野における合同や相似の証明です。これらの証明は「AならばB,BならばC,CならばD,よってAならばDである。」というふうに,いろいろな定義や定理を根拠にして論理を積み重ねていき,仮定から結論へストレートにたどり着く証明方法です。このような証明方法は“直接証明”といって比較的分かりやすい,ふつうの証明方法です。 しかし中には直接証明ではうまく証明できないことがらもあって,そんなときに役に立つ証明方法の1つに背理法があります。

背理法による証明は,あることがらPを示すのに,Pが成り立たないと仮定し,そうすると矛盾が起こることを導く」ことにより,Pが成り立つことを証明する手法です。つまり,矛盾が生じたのはPが成り立たないとしたはじめの仮定が誤りであり,すなわちPは成り立つのである,という論法です。この手法を,直接証明に対して“間接証明”といいます。いくつか例を見てみましょう。

<背理法による証明>

①素数が無限にあることの証明

素数が有限個しかないと仮定する。
その個数をn個とし,すべての素数を小さい順にならべ,
それらをとする。
は最大の素数である・・・①)
このとき, という数Qを考える。
すると,Qの形より,Qは素数である・・・どの素数()でわっても1あまるから。
また,①より,Qは素数ではない・・・最大の素数より大きいから。
よって,矛盾。
したがって,はじめの仮定が誤りであったことになり,素数は無限にある。

※素数・・・1とその数自身しか約数のない数を素数という。(1はのぞく)
素数が有限個しかないとする

最大の素数をpnとする

最大の素数pnより大きな素数Qが存在してしまう

矛盾

素数は無限にある

<背理法による証明>

が無理数であることの証明

が有理数であると仮定する。

とおける。
ただし,①の右辺は約分できるまで約分し,m,n は互いに素(1 以外に公約数をもたない)な自然数とする。
(このような分数を既約分数という。)
①の両辺を2 乗すると,

②より,n は偶数(2 乗して偶数になる自然数は偶数)。
よってn=2kとおける(kは自然数)。
②に代入すると、

③より,m は偶数。
n も偶数でm も偶数であることは(2 で約分できるので),n とm が互いに素であるという最初の仮定と矛盾する。
したがって, は無理数である。

※有理数と無理数・・・2 つの整数の商の形(割る数は0ではない)で表せる数を有理数といい,有理数でない数を無理数という。

が有理数であるとする。

既約分数で表せる

表した分数が約分できてしまう

矛盾

は無理数

<あやまった背理法の使い方>

③イルカが哺乳類であることの証明

イルカは魚類であると仮定する・・・①
魚類はエラ呼吸する・・・②
よって,①,②より,イルカはエラ呼吸する。
しかし,じっさいイルカは肺呼吸をする動物でエラ呼吸はできない。
よって,矛盾。
最初の仮定は誤りだから,イルカは哺乳類である。
イルカは魚類とする




矛盾

だからといって,哺乳類といえるか??

<背理法をつかうときの注意>

背理法はときとしてとても便利な証明方法なのですが,使い方を間違えるとただの詭弁(きべん=こじつけ)になってしまうので注意しましょう。
上の③の証明は,証明の結果自体は正しいのですが,証明の方法としては正しくありません。その理由を考えてみましょう。
①,②の正しい証明では,仮定した内容は証明したい内容のちょうど反対になっています。
反対になっているということは,①の場合,素数の個数は有限でないなら無限だといえて,②の場合, が有理数でないなら無理数であるといえるということです(無理数の定義は「有理数でない数」)。
それに対し,③で仮定した「魚類である」という内容は,証明したいこと(「哺乳類である」)の反対にはなっていません。
魚類でないからといって,哺乳類だとは結論できないのです。素数の個数は有限か無限のどちらかだし, は有理数か無理数のどちらかですが,動物の種類は哺乳類か魚類かのどちらかではない(鳥類,爬虫類,昆虫類,・・・などもいる)ので,③は証明としては間違っているのです。
この点を注意しましょう。

が無理数であることを使って,が無理数であることを証明しなさい。

が有理数であると仮定する。
とおける。(n,m は自然数)
①を変形すると,

②において,左辺は無理数,右辺は有理数であるから,矛盾。
よって,最初の仮定は誤りであり,は無理数である。

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